Algunas cosas sobre la Conjetura de Collatz

Uno de los grandes problemas matemáticos planteados, es el conocido como la Conjetura de Collatz, cuyo enunciado es tan simple como:

"Para cualquier número entero positivo, se divide entre 2 si éste es par o se multiplica por 3 y se le suma 1 si éste es impar, aplicando las dos reglas anteriores sucesivamente con el resultado obtenido, siempre terminará en 1"

Y bien, sencilla las reglas, ¿pero por qué es tan importante?, porque no se ha encontrado un solo caso (ejemplo) en el cual esta afirmación no sea cierta, mucho menos se ha podido probar con todos los números ya que son infinitos.

Pero bien, cualquiera podría tratar de buscarle una solución sin necesidad de probar todos los números, con la intensión de validar la afirmación basándose en las reglas. Comenzamos con la primera, la que dice que si el número es par se debe dividir entre 2, tomándola podemos decir que si un número es par-descendiente, siempre va a terminar en dos (y luego en 1), o sea, si todas sus divisiones entre 2 son perfecta porque el número puede ser meramente formado multiplicando desde el 1, sucesivamente por 2.

Secuencia de números par-descendientes

Ahora podríamos desviar la mirada hacia los números impares. Si se hubiera dicho que si es impar se multiplicara por dos, entraríamos en un ciclo de multiplicación y división, sin parar; pero por suerte el enunciando no dice eso, pero no es relevante ya. Entonces, multiplicando el número impar por 3, saltaríamos este posible problema, que si se hubiera multiplicado por algún número par. ¿Podría tenerse el mismo resultado multiplicando por otro impar?

Luego de la multiplicación, se le suma una unidad, y es que si miramos los resultados de números multiplicados por 3, veremos que todos terminan con algún número entre 0 y 9; cosa que no pasa con los múltiplos del 2 o del 5, por ejemplo.

Tabla del 3 y el rango de valores para su último dígito

Ahora bien, si tomamos cualquier resultado que termine en un número impar, siendo en sí un número impar, y le sumamos 1, como dice la regla, tendríamos un número par listo para aplicar la primera regla. Pero espera, ¿un número impar, al multiplicarse por 3 puede resultar par, y luego al sumársele 1, nos dará otro número impar? ¿Esto puede desencadenar una secuencia creciente?, entonces no estamos teniendo en cuenta que la multiplicación de impares da como resultado otro impar.

Comportamiento del último dígito de cualquier número multiplicado por 3

Además, si tenemos en cuenta que:

Impar = Par + 1
Impar * Impar = (Par + 1) * (Par + 1)

Distribuimos
(Par + 1) * (Par + 1) = Par^2 + Par + Par + 1
(Par + 1) * (Par + 1) = Par^2 + 2*Par + 1

Cualquier par elevado a la potencia par, 2, es otro par.
Cualquier par multiplicado por otro par, 2, es otro par.

Par^2 + 2*Par -> Par
Par + 1 = Impar

Por ende, no tendremos un impar que al multiplicarse por 3 nos dé un par, y al sumársele 1, nos vuelva a dar otro impar. En cambio, ya que al multiplicar dos impares tendremos otro impar, al sumársele 1, obtendremos un número par que nos permitirá reducir el número siguiendo la primera regla.

Ahora miremos qué le suceden a los números pares cuando son divididos entre 2. Claramente no se tendrá en cuenta los números entre 2 y 8 porque ya estos los conocemos.

Comportamiento de algunos números pares al ser divididos entre 2

Algunos números terminados en 2, 4 o 6, al ser divididos entre dos, nos resulta un número impar para algunos casos como 26/2 = 13. Claro está, que no se está teniendo en cuenta algunos ejemplos donde al ser divididos entre 2, nos dé otro par como 36/2 = 18.

Para todo lo anterior, los números impares siempre se van a transformar en uno par. Una vez siendo par, será más fácil reducirlos, y en caso de obtener un número impar, recordad que al aplicar la segunda regla, ese número se transformará en un número par. Los pares tienen la de ganar, girando la balanza hacia el lado de la reducción de números pares.

En fin, ¿será ésta una válida prueba para demostrar la veracidad en la Conjetura de Collatz?, ¿qué opina el resto?, ahí quedará...


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